摘要：

算数组合中所谓的和积现象（sum-product phenomenon），通俗的讲，是说一个环里的子集不可能同时拥有很好的加法性质和很好的乘法性质。这一现象最早是由Erdos和Szemeredi定量地叙述出来的。他们证明了：给定n个不同的整数（n>100），要么把它们两两相加得到的和的个数大于 n^1.01，要么它们两两相乘得到的积的个数大于 n^1.01。大约从2000年开始，以Bourgain、Katz、Tao为代表的一批数学家发现这种看似不起眼的和积现象跟数学上其他的问题有着深刻的联系，比如分形几何中的Kakeya问题、Falconer距离问题、投影问题，比如几何群论中的群的扩张（expansion in groups）的问题，再比如齐性动力系统中的随机游走的等分布问题。这门课程主要目的是给出几个和积定理的完整证明，然后介绍和积定理是如何被用到上述数学问题的研究当中的。

大纲：
1. 介绍
2. 加法组合的基础工具：Pluennecke-Ruzsa不等式，Ruzsa三角不等式，Balog-Szemeredi-Gowers定理 
3. 和积定理：Tao的证明、Garaev的证明
4. Expansion in groups：Helfgott乘积定理，Bourgain-Gamburd定理
5. Bourgain离散化和积定里，Guth-Katz-Zahl的证明
6. 可测子环的维数：Erdos-Volkmann猜想。
7. 其他关于分形的问题：投影定理、Kakeya问题、Falconer距离问题
8. 和积现象的另一种表现形式：傅立叶衰减
9. 环面上的线性随机游走：Bourgain-Furman-Lindenstrauss-Mozes定理

时间：

19:00PM-21:00PM, March 11, 2022  

19:00PM-21:00PM, March 18, 2022  

19:00PM-21:00PM, March 25, 2022  

19:00PM-21:00PM, April 1, 2022 

19:00PM-21:00PM, April 8, 2022   

19:00PM-21:00PM, April 15, 2022  

19:00PM-21:00PM, April 22, 2022  

19:00PM-21:00PM, April 29, 2022