日期时间：2010-4-1 -> 2010-6-30 每周一、周三上午8:00-9:50

《算术代数几何选讲》面向数学系高年级本科生和研究生，讲述数论中的代数几何方法，尤其是Diophantus 几何方法的主要思想。通过这门课程，我计划达到三个目标：让学生掌握代数几何的基本概念和技巧，了解Diophantus 几何的重要问题和经典结果，接触这一方向上研究的新进展。预计需要48 小时左右的授课时间。Diophantus 问题是数论中最古老，同时又最具活力的方向之一。它研究整系数多项式方程(组) 整解的性质，如存在性、有限性、以及渐近性质等等。许多数论上著名的猜想，比如Fermat 最后定理，Hilbert 第十问题，Birch 和Swinnerton-Dyer 猜想，Mordell 猜想，以及abc 猜想等等，都与Diophantus 问题密切相关。这些猜想中的一大部分远未解决，同时已经解决的那些又派生出许多重要的问题，这吸引着一代代数学工作者去探索和研究.

半个世纪多来，代数几何在Grothendieck学派的影响下有了长足的进展，为Diophantus 问题提供了新的工具和方法，得到了许多重要的结果，其中最具代表性的就包括Mordell 猜想及Fermat 最后定理的解决。这些进展使得代数几何成为Diophantus问题研究人员所必备的基础知识。同时，代数几何在许多数学及应用数学的方向上有广泛的应用。在本课程的前半部分中就将用现代观点来讲述代数几何的基础知识，内容主要包括层和上同调理论，概形论，Abel 簇理论等。出于时间的考虑，计划只讲述课程后半部分用到的概念和定理。但所有提到的代数几何概念都将在课程中详细定义，并且讲述定理的严格证明。学生只需具备��变函数和抽象代数的基础知识就可以修这门课程。在完成课???后，程度较好的学生??具备独???阅读代数几何方向的教科书和工具书的能力。另外，经典Diophantus 逼近理论中的思想和方法也在Diophantus几何中发挥了重要的作用。比如Faltings 对于Mordell 猜想的证明就综合了Arakelov几何(几何方法) 和Roth 定理(Diophantus 逼近) 的思想。在课程的前半部分也会有选择地讲述关于经典Diophantus逼近的内容。课程的后半部分重点放在与数论密切相关的几何概念和方法上。首先会对代数数论的基础知识作一个介绍，然后着重从几何的角度讲述高度理论(height theory)，特别是Abel 簇上Neron-Tate 高度论。至此学生们应对Diophantus 几何经典的问题和结论中出现的概念有较为全面的认识。在此基础上，我计划根据具体情况从下述论题中选择一到两者加以介绍：

• 1) Vojta 对Mordell 猜想的证明。
• 2) 算术代数簇上的动力系统和Bogomolov 猜想。
• 3) 函数域上的abc 猜想。
• 4) 斜率方法及其在Grothendieck-Katz 猜想中的应用。
• 5) 值分布理论和Diophantus 逼近的类比。
• 6) 算术相交理论。