色散偏微分方程的散射理论是很重要的课题，近20年，一批顶尖的数学家，例如Bourgain，Tao，Kenig，Merle等人均在此领域做了深刻的工作，成果丰富。然而，大部分结果都局限于方程的非线性项的次数比较高的情形，例如空间维数为三维时，要求非线性项f(u)的次数至少为u^{7/3}.  有一类很重要的物理模型不能满足此限制，例如Zakharov系统，Phi4 model, Gross-Pitaevskii方程等，非线性项f(u)的次数相当于u^2.  非线性项的次数低带来的一个本质困难是，扰动性办法往往很难应用，即使是在小初值情形。这个报告中，将介绍我们关于这一类问题的一个处理办法，可以看到，与之前研究相比，即使在小初值情形下，方程内在的非线性结构起了本质作用。未来的一大挑战是，如何在大初值情形，结合其它工具例如变分，Schrodinger算子等去开发这些非线性结构。

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