Enhanced Program for Graduate Study（2023）
北京国际数学研究中心
研究生数学基础强化班第十五期（2023春季班）招生通知
为探索我国优秀数学人才培养的新途径，推进青年数学人才培养机制的改革和创新，在北京大学研究生院和北京大学数学科学学院（以下简称为“数学学院”）的支持下，北京国际数学研究中心（以下简称为“数学中心”）开办“研究生数学基础强化班第十五期（2023春季班）”（以下简称为“强化班”）。
强化班面向全国招收数学院（系、所）的高年级本科生和低年级研究生，并聘请教授为学生集中讲授数学基础课程。同时，北大数学学院所有高年级本科专业课和研究生课程对强化班学生开放。数学中心还将通过开展特别数学讲座、学术会议、讨论班等活动，与学生分享前沿数学研究成果，增进学生对国际数学发展新趋势的了解。
强化班设立专家委员会。授课教师的选聘和强化班学生的入选，均由专家委员会决定。
一、 招生计划
1. 2023春季班招生规模为30人左右。
2. 强化班招生实行学生自由申请和专家推荐制。每名申请者需要有两名数学教授推荐。
3. 数学中心要求入选学生全程参加强化班课程（包括期中和期末考试）。为保证学生能够顺利完成强化班课程，每名申请者应提供所在学校院系的书面证明，说明该申请者参加强化班课程不会影响其在原学校的培养计划（包括办理毕业手续等）。详见本通知第四条第1点。
4. 原则上本科三、四年级或研究生一、二年级的学生具有申请资格。
5. 申请时间：2022年9月30日-10月29日。
6. 申请者的入选资格由专家委员会审定，并由数学中心及时通知申请者。
二、 教学计划
1. 入学时间：根据北大校历时间，强化班学生应于2023年2月20日报到。2023年6月12日至6月25日为考试周。
2. 上课地点：数学中心及数学学院。
3. 课程安排：数学中心安排四门数学基础课程：同调论（葛化彬老师授课）、泛函分析II（郭懋正老师授课）、Representation Theory（Emanuel Scheidegger老师授课）、Differential Topology（Guo Chuan Thiang程国传老师授课）。
4. 每名强化班学生应选二至四门强化班课程。
5. 强化班学生所学课程由数学中心出具成绩单，考试合格者将颁发结业证书。建议强化班学生向各自的学校申请将强化班成绩计入本校成绩。
6. 数学中心鼓励学生与授课老师﹑数学中心老师及数学学院老师建立密切的学术联系。
7. 数学中心鼓励学生参加数学中心及数学学院举办的前沿学术报告、特别讲座、讨论班等活动。
三、 生活管理
1. 数学中心将为合格结业的强化班学生报销春季入学时的单程路费（限为高铁/动车的二等座）。
2. 数学中心将为每名强化班学生办理北大饭卡（学期结束后需归还）。
3. 数学中心将为强化班京外学生统一安排住宿并支付住宿费。北京地区学生原则上不安排宿舍。
四、 申请和录取
1. 纸质材料：①报名表（见附件1），需学生所在院（系、所） 签字同意申请，说明该申请者参加强化班课程不会影响其在原学校的培养计划（包括办理毕业手续等）并加盖单位公章；②两封推荐信，由教授亲笔签名并签封；③本科阶段及研究生阶段的成绩单，原件或复印件均可（本科学生只需提供本科阶段成绩），纸版需盖章；④数学课成绩需单列一张表格，并将平均分标注在表格下方；⑤学生自述（见附件3），请谈谈对数学的看法，长远的职业规划等，字数不限。
请申请者将上述材料通过中国邮政EMS快递寄到数学中心：北京市海淀区颐和园路5号 北京大学 北京国际数学研究中心（镜春园78号院）,谭晓妮收，邮编100871，电话010-62744132。
申请者可从中心网站https://bicmr.pku.edu.cn/content/page/78.html 网页下端Enhanced Program for Graduate Study（2023）下载表格（附件1.Word报名表格、附件3.自述表格），填好后打印出来快递。
2. 电子版材料：①Word报名表格（见附件1）；②Excel学生资料表格（见附件2）。两个表格均命名为“学校名字+姓名”。并通过Email提交。邮件发至xntan@bicmr.pku.edu.cn，邮件名称为“第15期强化班报名申请表+姓名”。
3. 2023春季班接受申请截止时间为2022年10月29日24点，以电子邮件显示时间为准。在此之前，书面材料须寄到数学中心。
4. 专家委员会讨论决定强化班录取名单后，数学中心将电话通知申请者本人，并发出录取通知。
5. 强化班联系人：谭晓妮老师。咨询电话：010-62744132。
五、 课程简介
1. 同调论
（1）预备知识：基础拓扑学，基础代数学。
（2）课程内容：奇异同调群、M-V同调序列、上同调群，以及同调群公理；胞腔复形、胞腔同调的定义及计算；Morse临界点理论及应用；乘积理论；流形上的同调、对偶、相交数、Lefschetz不动点定理、示性类。如果时间允许，课程还将概要性介绍谱序列、同伦论等内容。
（3）参考文献：
① 姜伯驹,《同调论》，北京大学出版社，2006年。
② R. Bott，L. W. Tu，Differential Forms in Algebraic Topology, 世界图书出版社
（影印版），GTM82.
③ A. Hatcher，Algebraic Topology,
http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
④ J. W. Vick, Homology Theory--An Introduction to Algebraic Topology.
世界图书出版社（影印版），GTM145.
2. 泛函分析II
（1）预备知识: 实变函数理论，距离空间的列紧性、完备性，Hilbert空间基本理论，Banach空间基本理论，线性算子和线性泛函理论。
（2）课程内容: ①Banach 代数，Gelfand表示与极大理想，C*代数，交换C*代数的Gelfand表示理论，Hilbert空间上有界正常算子的谱理论；②闭算子、无界自伴算子谱分解理论，无界正常算子谱分解，自伴算子的扩张，自伴算子的扰动，无界算子序列的收敛性；③算子半群的无穷小生成元，Hill-Yosida理论，单参数酉群和Stone定理，Markov过程，发展方程。
（3）参考文献：
① 张恭庆，林源渠，《泛函分析讲义》（上册），北京：北京大学出版社,1987年。
② 张恭庆，郭懋正，《泛函分析讲义》（下册），北京：北京大学出版社,1990年。
③ 郭懋正，《实变函数与泛函分析》，北京：北京大学出版社,2005年。
④ M.Reed，B.Simon: Methods of Modern Mathematical Physics. Vol I-II， 1972-1979 Academic Press.
⑤ W.Rudin: Functional Analysis，1991，McGraw-Hill,Inc.
⑥ K.Yosida: Functional Analysis，Fifth edition，1978，Springer-Verlag.
⑦ T.Kato: Perturbation Theory for Linear Operators，1966，Springer-Verlag.
3. Representation Theory （英文授课）
Symmetries are at the heart of mathematics and physics. Representation theory is the quintessential language to describe symmetries in terms of actions of groups or algebras on a vector space. Turning this around, by studying the properties of representations in terms of linear algebra, one can extract properties of the groups or algebras even if those are very complicated, e.g. such as the Monster.
In this course, we will study the representation theory of Lie groups and Lie algebras. We first explain how to reduce the representation theory of Lie groups to the one of Lie algebras. Then we focus on the most important case of complex semisimple Lie algebras.
To make the course accessible to the widest possible audience, a minimal amount of prior knowledge is assumed. The prerequisites are linear algebra. The following notions from differential geometry and topology will be used: an abstract manifold, its tangent bundle, its fundamental group, and its universal cover.
The course is delivered in English. It is planned to have the course accompanied by exercise classes.
Text books:
Fulton, W., & Harris, J. Representation theory, Vol. 129 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York. 1991.
Humphreys, J. E. Introduction to Lie algebras and representation theory, Vol. 9 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York. 1978.
4. Differential Topology（英文授课）
Prerequisites: Linear algebra, multivariable calculus, basic real analysis, metric spaces and point-set topology.
We will learn how calculus and Euclidean space are idealizations of much more powerful concepts driven by geometrical and physical ideas.
On the one hand, we can learn about robust features (topology) of geometric objects (manifolds) using intrinsic differential and integral calculus on differentiable manifolds.
On the other hand, the global manifold topology imposes strong constraints on qualitative features of models built on calculus (Hairy ball theorem).
The study of Differential Topology will help the student make contact with many fields of modern mathematics and physics.
Topics covered:
Structures and operations on smooth manifolds, Sard's theorem, Whitney embedding, transversality and intersection theory, Brouwer fixed point theorem, Hopf degree theorem, vector fields and Poincare-Hopf index theorem, differential forms and de Rham theory, Stokes’ theorem on manifolds, Gauss-Bonnet theorem.
Basic references (Similar level to actual course):
Guillemin，V., Pollack, A.: Differential Topology. Prentice-Hall, New Jersey, 1974
Milnor, J.: Topology from the Differentiable Viewpoint. Princeton, 1965
Madsen, I.H., Tornehave, J. From calculus to cohomology, Cambridge 1997
Other references (More advanced):
Hirsch, M.W.: Differential Topology. Springer-Verlag, 1994
Nash, C.: Differential topology and quantum field theory. Elsevier, 1991
六、 授课教师简介
1. 葛化彬，北京大学数学科学学院博士、北京国际数学研究中心博士后，现为中国人民大学数学学院教授，博士生导师。主要研究方向为几何拓扑，推广了柯西刚性定理和Thurston圆堆积理论，部分解决Thurston的“几何理想剖分”猜想、完全解决Cheeger-Tian、林芳华的正则性猜想，相关论文分别发表在Geom. Topol., Geom. Funct. Anal., Amer. J. Math., Adv. Math.等著名数学期刊。
2. 郭懋正，纽约大学柯朗研究所博士，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。主要研究方向为数学物理，随机过程和算子代数。编著并出版的教科书有《实变函数与泛函分析》及与张恭庆院士合编的《泛函分析讲义》（下册）。
3. Emanuel Scheidegger is an associate professor at BICMR since August 2018. His research topic lies at the intersection of geometry, algebra, topology, number theory and physics. The main focus is on the algebraic description of topological string theory and Calabi-Yau manifolds. He graduated from the University of Munich and held assistant positions at the University of Augsburg and the University of Freiburg, as well as visiting research positions at Harvard University and ETH Zurich.
4. Guo Chuan Thiang （程国传）is an Assistant Professor at BICMR, Peking University. He works on mathematical physics using techniques from topology, analysis, geometry, operator algebras, and K-theory. He graduated from the University of Oxford, held a postdoctoral position at the University of Adelaide, and was awarded a DECRA Fellowship by the Australian Research Council.
（注：本期强化班的具体安排可能会因疫情防控要求相应进行调整。）
