近日，北京国际数学研究中心谢俊逸、袁新意两位教授合作的论文“Partial Height, Entire Curves, and the Geometric Bombieri-Lang Conjecture”在国际顶尖数学期刊Acta Mathematica在线发表。

公元3世纪，古罗马数学家丢番图 (Dióphantos ho Alexandreús)在他的巨著《算术》（Arithmetica）中，系统地研究了各种各样的多项式方程（或方程组），其中包括小学解应用题常用的一次方程和中学数学竞赛出现的不定方程。通常，不定方程又被称为丢番图方程，它们有有理系数，而数学家的目标是找到它们的所有有理数解。

历史上最著名的不定方程当属费尔马（Fermat）方程，即方程 xⁿ+yⁿ=zⁿ，这里的指数n>2。公元1637年，费尔马在他的手稿中断言，这个方程的整数解 (x,y,z) 一定满足 x=0, y=0, 或 z=0。经过一代代数学家的努力，费尔马的断言最终由英国数学家怀尔斯（Wiles）和泰勒（Taylor）在1995年证明。

1922年，英国数学家莫德尔（Mordell）提出了著名的莫德尔猜想，即亏格大于1的（光滑射影）曲线只有有限个有理解。例如，扭费尔马方程 axⁿ+byⁿ=czⁿ只有有限组互素的整数解，这里的指数n>3, 系数a,b,c是非零的整数。1983年，德国数学家法尔廷斯（Faltings）证明了莫德尔猜想，他因此获得1986年的菲尔兹奖和2026年的阿贝尔奖。

法尔廷斯对莫德尔猜想的证明是丢番图几何领域的一个里程碑式的结果。但是，莫德尔猜想只考虑了曲线对应的丢番图方程，而高维代数簇对应的丢番图方程更加神秘。这类似于更多个变量的不定方程，例如，方程xⁿ+yⁿ+zⁿ=wⁿ的有理数解怎么分布？上世纪80年代，伴随着法尔廷斯的证明的出现，意大利数学家邦别里（Bombieri）和美国数学家朗（Lang）提出了著名的Bombieri-Lang猜想，即莫德尔猜想的高维形式。此猜想断言，双曲（hyperbolic）代数簇只有有限个有理解，并且一般型（general type）代数簇的有理解落在一个低维代数子集中。此猜想本质上给出了所有的丢番图方程解的分布，其广度与深度都远超当今数学家们的能力。现在已知的Bombieri-Lang猜想的情形，除了曲线的情形（即莫德尔猜想），只有阿贝尔簇的子簇的情形，而后者是法尔廷斯1991年的工作。

数域和函数域的类比，是现代数论发展的一个神奇的指导思想。例如，所有有理数构成的域Q就是一个数域，而所有分式构成的域就是一个函数域。函数域上的问题与几何、分析领域密切相关，能使用更多工具，同时对数域上问题有极大启发。因此人们同样关注几何Bombieri-Lang猜想，即函数域上的Bombieri-Lang猜想，其目的是寻找函数域上的多项式方程的解。对于几何Bombieri-Lang猜想，除了1963年Manin证明了曲线的情形，和1983年Raynaud证明了阿贝尔簇的子簇的情形，还已知1981年Noguchi证明的余切丛丰沛的情形。

在论文“Partial Heights, Entire Curves, and the Geometric Bombieri–Lang Conjecture”中，谢俊逸和袁新意证明了阿贝尔簇的有限双曲分歧覆盖上的几何Bombieri-Lang猜想，这是过去40年来几何Bombieri-Lang猜想唯一的突破。此文中，谢俊逸和袁新意引进了部分高度（partial height）这一原创性概念。如果部分高度非退化（non-degenerate），那么从一列有理点出发，他们用复分析构造了一条整曲线（entire curve），从而推出几何Bombieri-Lang猜想成立。著名的Vojta字典，诠释了丢番图几何与复分析里的Nevanlinna理论之间的一个深刻的关联，而谢俊逸和袁新意的构造，建立了这个字典中从无穷个有理解到整曲线之间的一个具体的桥梁。之后，谢俊逸和袁新意（https://arxiv.org/abs/2308.08117）以及他们学生高国荃（https://arxiv.org/abs/2511.17010）将此理论进一步发展，对阿贝尔簇的所有有限分歧覆盖证明了几何Bombieri-Lang 猜想。

谢俊逸在算术动力系统和丢番图几何领域做出了非常深刻和有影响力的原创性工作，袁新意在Arakelov几何、丢番图几何、算术动力系统、志村簇与L函数等方向都做出了突破性的工作。两位教授在近期于美国费城举行的国际数学家大会（ICM2026）期间分别作45分钟邀请报告。

论文链接：

https://intlpress.com/JDetail/2079286067682267137