近日，国际顶尖级期刊Publications mathématiques de l’IHÉS在线发表了北京国际数学研究中心副教授丁一文的论文“p-adic Hodge parameters in the crystabelline representations of GLn”。

p进朗兰兹纲领研究的是p进Galois表示跟p进自守形式的对应关系。在Breuil的构想以及一些早期工作的基础上，Colmez,Paškūnas等数学家通过一系列工作，于2010年左右成功地在2维Qp情形构建了这种对应。对于更高维的情形，p进朗兰兹纲领仍然非常神秘。在p进Galois表示这一侧，Fontaine给出了系统的分类，其中比较重要的是一类称为crystalline（晶体型）的表示。根据Fontaine的p进Hodge理论，一个Qp的crystalline表示完全由两方面信息决定：一是对应的Weil-Deligne表示（一个更“古典”的对象），二是它的Hodge filtration。因此，要理解crystalline情形的p进朗兰兹对应，就需要在自守表示一侧找到能够体现这两方面信息的方式。其中，Weil-Deligne表示本来就是经典朗兰兹对应研究的核心对象，这部分已经比较清楚。

于是p进朗兰兹纲领中的一个核心问题在于如何在p进自守表示中“看到”Hodge filtration的信息。对于一个n维的Qp的crystalline Galois表示，Hodge filtration可以通过双陪集T\GLₙ/B来参数化。在这里B表示所有可逆的n阶上三角矩阵，T表示所有可逆n阶对角矩阵。这里可以看到n=2跟n大于等于3的一个显著区别，当n=2时这个双陪集只有3个元素，但当n大于等于3时，该集合为无限集合。

丁一文在研究中发现了Qp情形Hodge filtration在crystalline p进自守表示的实现方式，简单描述如下：首先作为一个经典事实，根据经典朗兰兹对应，一个特殊的局部代数表示（它是光滑表示与代数表示的张量积）总会以子表示的形式出现在crystalline p进自守表示里。令人惊讶的是，丁一文发现这个局部代数表示不仅仅作为子表示出现，它还会以很高的“重数”（出现次数，具体为2ⁿ − n(n+1)/2 – 1，比如n=2时为0，n=3时为1，n=10时为968）出现在“其它位置”。更重要的是，Galois一侧Hodge filtration的全部信息，正是由这些“出现位置”所决定。这一新现象的发现拓展了研究者对p进朗兰兹纲领的理解，并在一定程度上揭示了该领域长期以来的一些谜团，为后续研究提供了新的视角。

丁一文老师在北大课堂上

丁一文于2015年在法国巴黎十一大（现巴黎萨克雷大学）获博士学位，曾在伦敦帝国理工学院做博士后研究。他于2017年9月正式加入北京国际数学研究中心，主要研究领域是数论及表示论。

文章链接：

https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00156-2