近期，北京国际数学研究中心刘小博教授与他的博士研究生杨成浪合作，在曲线模空间上的相交数方面取得重要研究进展，已完成两篇论文“Schur Q-Polynomials and Kontsevich-Witten Tau Function”和“Q-polynomial expansion for Brezin-Gross-Witten tau-function”。这两篇论文分别证明了Kontsevich-Witten（以下简称KW）tau函数和Brezin-Gross-Witten（以下简称BGW）tau函数的Schur Q多项式展开式，解决了物理学家提出的相关猜想。

刘小博老师在数学中心作学术报告

KW tau函数是曲线模空间上一类自然上同调类相交数的生成函数，也是二维纯拓扑量子引力理论中的配分函数。上个世纪90年代，菲尔兹奖获得者Witten的一个著名猜想预测了这个函数是可积系统中KdV梯队的一个tau函数。因此它给KdV梯队中所有方程提供了一个几何解。Witten猜想首先被菲尔兹奖获得者Kontsevich证明。这个猜想揭示了曲线模空间的几何与可积系统之间的深刻联系，也是Gromov-Witten不变量理论中Virasoro猜想的雏形。因此这个函数在数学物理和代数几何等领域受到广泛关注。Kontsevich和Witten的结果只是给出了曲线模空间上一类相交数的递归关系。对这些相交数的进一步研究还需要对KW tau函数的结构有更多的了解。多年以来数学家和物理学家都在尝试得到这个函数的显式表达，但是得到的结果很复杂，很难看出其中好的结构。

Q多项式是Schur为了研究置换群的射影表示而于1911年引进的一族多项式。这些多项式是可积系统中BKP梯队的tau函数。在2020年的一篇文章中，物理学家Mironov和Morozov利用矩阵模型给出了一个将KW tau函数表示为Q多项式线性组合的公式。这个公式出乎意料的简洁和优美。Alexandrov在一篇文章中称此公式为Mironov-Morozov猜想，并进一步猜测KW tau函数是BKP梯队的一个超几何tau函数。在刘小博教授和杨成浪的第一篇文章中，他们利用Virasoro约束和对Q多项式组合结构的研究，给出了Mironov-Morozov公式一个不依赖于矩阵模型的直接证明。另外他们给出了这个公式中线性组合系数的一个更为明确的有理数表达式，并以此证明了Alexandrov的上述猜想。不同于矩阵模型，Virasoro约束广泛适用于很多几何模型。例如Virasoro猜想预示所有射影流形的Gromov-Witten不变量的生成函数也满足Virasoro约束。这个猜想的很多特殊情形已经得到证明。除了极个别特例之外，一般流形的Gromov-Witten理论没有对应的矩阵模型。Virasoro约束的方法有可能被推广到更多几何模型上类似性质的研究上。

BGW tau函数是80年代由物理学家Brezin、Gross和Witten为研究格点规范理论而引进的。90年代物理学家进一步引进了这个函数的一族形变，称为广义BGW tau函数。这些函数都是KdV梯队的tau函数。2017年Norbury建立了最初的BGW tau函数与曲线模空间之间的联系，从而给它赋予了计数几何的意义。在上述Alexandrov的文章中，他还提出了另外两个猜想，分别给出了BGW tau函数和广义BGW tau函数的Q多项式展开式。这些公式拥有与KW tau函数展开式一样的简洁性。虽然BGW tau函数最初就是用矩阵模型来定义的，但是矩阵模型对理解Alexandrov的这两个猜想帮助不大。在刘小博教授与杨成浪的第二篇文章中，他们用Virasoro约束给出了Alexandrov这两个猜想的一个证明。

用Q-多项式来研究曲线模空间上的相交数是一个崭新的尝试。作为这些相交数的推广，一般辛流形上Gromov-Witten不变量和Q-多项式的关系还处于一个全然未知的阶段，还有很多工作需要做。这将给Gromov-Witten不变量的研究带来一个全新的视角。上述工作对研究更广泛的几何模型具有重要的借鉴意义。

刘小博老师近照

刘小博是北京大学讲席教授，北京国际数学研究中心副主任。他的主要研究领域包括微分几何和数学物理。他在黎曼几何和Gromov-Witten不变量的Virasoro猜想等领域取得一系列重要进展，多篇文章发表在Annals of Math,Duke Math Journal等国际著名期刊上。他曾获得过美国Sloan研究奖，并曾在2006年世界数学家大会上作特邀报告。

论文预印本链接：
https://arxiv.org/abs/2103.14318
https://arxiv.org/abs/2104.01357