2020 Summer School on Differential Geometry

Time: 2020-08-11 Published By: He Liu

Time: August 3 - August 15, 2020

Venue: Online

微分几何是当今数学发展迅速的主流研究方向之一。为了进一步激发和提高国内大学生对微分几何的研究兴趣和加强对青年学生在微分几何学方面的人才培养，北京大学国际数学中心、北京大学数学学院、首都师范大学数学科学学院和首都师范大学交叉科学研究院联合举办“微分几何”暑期学校，为有志于微分几何研究的优秀本科生和研究生提供一个集中学习和交流的机会。暑期学校将邀请国内外优秀的几何学家讲授基础课程，并邀请国际上著名数学家做相关综述报告。

招生对象：高年级本科生、低年级硕士研究生

招生人数：40-50人

课程信息：

（1）Introduction to partial differential equations（美国西北大学楚健春）（在线直播）

This course is an introduction to the study of second order elliptic partial differential equations. We will focus on linear theory. Topics that will likely be covered include:

Lecture 1-2 Laplace's equation (Fundamental solutions, Green's function, Poisson integral formula, Dirichlet problem in balls)

Lecture 3 Harmonic functions (Mean value property, Interior estimates of derivatives, Liouville theorem, Harnack inequality)

Lecture 4-5 Maximum principle (weak maximum principle, Hopf Lemma, strong maximum principle)

Lecture 6-7 Poisson's equation (Holder spaces, Newtonian potential, Dirichlet problem in balls)

Lecture 8-10 Schauder theory (Interpolation inequalities, Schauder estimates, Dirichlet problem in domains)

Prerequisites:

Familiarity with multivariable calculus, linear algebra and some functional analysis.

References:

[1] D. Gilbarg and N.S. Trudinger Elliptic partial differential equations of second order Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.

[2] Q. Han A basic course in partial differential equations. Graduate Studies in Mathematics, 120. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.

[3] Q. Han and F.H. Lin Elliptic partial differential equations, Second Edition, Courant Lecture Notes in Mathematics, 1. New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.

（2） 复几何初步（南京大学石亚龙）（在线直播）

本课程是复几何的入门课程，介绍复流形与全纯向量丛的微分几何、层的上同调理论以及Hodge定理、Kodaira消没定理和嵌入定理等基本定理。预备知识为微分流形的基本理论，包括流形的基本概念、向量场和微分形式、Stokes定理等。

教材：R.O.Wells “Differential Analysis on Complex Manifolds” GTM65

其他参考文献：Griffiths-Harris “Principles of Algebraic Geometry” Chapter 0,1

Huybrechts “Complex Geometry: An Introduction”

课程提纲：

1、复流形与全纯向量丛（约3学时）

2、层论简介（约5学时）

3、复向量丛的微分几何（约4学时）

4、紧复流形的Hodge理论（约4学时）

5、Kodaira嵌入定理（约4学时）

（3） 黎曼几何（北京大学葛剑）（录播）

作为微分几何的一个分支，黎曼几何对当代数学的诸多分支都起到了重要的推动作用。在本次的暑期课程当中，我们将介绍黎曼几何中的一些基本的概念与工具，比如曲率，共轭点，第一、第二变分公式等。并以此为工具来证明黎曼几何中几个重要定理。这些定理将流形的几何与拓扑紧密地联合在了一起，这类问题不仅仅是黎曼几何中研究的中心，也是现代黎曼几何研究的开端。

我们希望能够在两周的时间内覆盖如下内容：

1）微分流形简介。2）黎曼流形基本概念：黎曼度量，联络，测地线，Jacobi场，曲率等。3）变分公式。4）Jacobi场的比较。5）Myers定理以及Gromov的体积单调性定理等。

学术委员会

田刚（北京大学）

方复全（首都师范大学）

组织委员会

朱小华（北京大学）

张振雷（首都师范大学）

资助单位

北京大学国际数学研究中心

北京大学数学科学学院

首都师范大学数学科学学院