Adam 算法

考虑优化问题：

$\displaystyle \min_{x\in\mathcal{R}^n}f(x)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nf_i(x).$

Adam 算法本质上是在 RMSProp 的基础上增加了动量项，其利用梯度的一阶矩记录动量

$S^k=\rho_1S^{k-1}+(1-\rho)g^k,$

记录梯度的二阶矩（与 RMSProp 相同）

$M^k=\rho_2 M^{k-1}+(1-\rho)g^k\odot g^k,$

并进行修正： $\hat{S^k}=\frac{S^k}{1-\rho_1^k}$ , $\hat{M^k}=\frac{M^k}{1-\rho_2^k}$ 。利用修正的一阶矩作为下降方向，并且利用修正的二阶矩来逐分量调整步长，其迭代格式为

$\displaystyle x^{k+1}=x^k-\frac{\alpha}{\sqrt{\hat{M^k}+\epsilon \mathbf{1}_n}}\odot\hat{S^k}.$

初始化和迭代准备

输入信息：迭代初始值 x0 ，数据集大小 N ，样本梯度计算函数 pgfun，目标函数值与梯度计算函数 fun 以及提供算法参数的结构体 opts 。

输出信息：迭代得到的解 x 和包含迭代信息的结构体 out 。

out.fvec ：迭代过程中的目标函数值信息
out.nrmG ：迭代过程中的梯度范数信息
out.epoch ：迭代过程中的时期 (epoch)信息

function [x,out] = Adam(x0,N,pgfun,fun,opts)

从输入的结构体 opts 中读取参数或采取默认参数。

opts.maxit ：最大迭代次数
opts.alpha ：步长
outs.thres ：保证梯度分量累计严格为正的小量
opts.rho1 ：一阶矩累计的权重值
opts.rho2 ：二阶矩累计的权重值
opts.batchsize ：随机算法的批量大小
opts.verbose ：不小于 1 时输出每步迭代信息，否则不输出

if ~isfield(opts, 'maxit'); opts.maxit = 5000; end
if ~isfield(opts, 'alpha'); opts.alpha = 1e-3; end
if ~isfield(opts, 'thres'); opts.thres = 1e-7; end
if ~isfield(opts, 'rho1'); opts.rho1 = 0.9; end
if ~isfield(opts, 'rho2'); opts.rho2 = 0.999; end
if ~isfield(opts, 'batchsize'); opts.batchsize = 10; end
if ~isfield(opts, 'verbose'); opts.verbose = 1; end

以 x0 为迭代初始点。计算初始点处的目标函数值和梯度，记初始时刻时期 (epoch) 为 0。

x = x0;
out = struct();
[f,g] = fun(x);
out.fvec = f;
out.nrmG = norm(g,2);
out.epoch = 0;

gsum 记录一阶矩，|ssum| 记录二阶矩。$\rho_1$, $\rho_2$ 分别为一阶矩和二阶矩的衰减率。 count 用于计算时期(epoch)。

gsum = zeros(size(x));
ssum = gsum;
rho1 = opts.rho1;
rho2 = opts.rho2;
count = 1;

迭代主循环

Adam 的迭代循环，以 opts.maxit 为最大迭代次数。

for k = 1:opts.maxit

等概率地从 $\{1,2,\dots,N\}$ 中选取批量 $s_k$ 记录在 idx 之中，批量大小为 opts.batchsize 。计算对应的样本的梯度。

    idx = randi(N,opts.batchsize,1);
    g = pgfun(x,idx);

更新一阶、二阶矩累计，并进行修正。利用修正的一阶矩和二阶矩对 $x$ 进行更新。

    ssum = rho1*ssum +  (1 - rho1)*g;
    gsum = rho2*gsum + (1 - rho2)*(g.*g);
    ssum_mod = ssum/(1 - rho1^k);
    gsum_mod = gsum/(1 - rho2^k);

    x = x - opts.alpha./sqrt(gsum_mod + opts.thres).*ssum_mod;

每当参与迭代的总样本次数超过数据集的总样本时，记为一个时期 (epoch)。每一个时期，记录当前的目标函数值和梯度范数，并令时期计数加一。

    if k*opts.batchsize/N >= count
        [f,g] = fun(x);
        out.fvec = [out.fvec; f];
        out.nrmG = [out.nrmG; norm(g,2)];
        out.epoch = [out.epoch; k*opts.batchsize/N];
        count = count + 1;
    end
end

end

参考页面

在页面实例：利用随机算法求解逻辑回归问题中，我们展示了该算法的一个应用，并且与其它随机算法进行比较。

其它随机算法参见：随机梯度下降法、 AdaGrad、 RMSProp、 AdaDelta。

此页面的源代码请见： Adam.m。

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