实例：连续化次梯度法解 LASSO 问题

我们将在此页面中构造一个 LASSO 问题

$\displaystyle \min_x \frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2+\mu\|x\|_1.$

并且展示连续化次梯度方法在其中的应用。

构造LASSO优化问题

设定随机种子。

clear;
seed = 97006855;
ss = RandStream('mt19937ar','Seed',seed);
RandStream.setGlobalStream(ss);

构造 LASSO 优化问题

$\displaystyle\min_x \frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2+\mu\|x\|_1.$

生成随机的矩阵 $A$ 和向量 $u$ 以使得 $b=Au$ 。第一次实验，给定正则化系数为 1e-3 。

m = 512;
n = 1024;
A = randn(m, n);
u = sprandn(n, 1, 0.1);
b = A * u;
x0 = randn(n, 1);
mu = 1e-3;

求解 LASSO 优化问题

固定步长为 $\displaystyle \frac{1}{\lambda_{max}(A^\top A)}$ 。

AA = A' * A;
L = eigs(AA, 1);

首先在更严格的停机准则下进行试验，将收敛时得到的函数值作为真实的最优值的参考 $f^*$ 。

opts = struct();
opts.maxit = 5000;
opts.maxit_inn = 500;
opts.opts1 = struct();
opts.method = 'subgrad';
opts.opts1.step_type = 'diminishing';
opts.verbose = 0;
opts.alpha0 = 1/L;
opts.ftol = 1e-12;
opts.ftol0 = 1e4;
opts.etag = 1;
addpath('../LASSO_con')
[x, out] = LASSO_con(x0, A, b, mu, opts);
f_star = out.fvec(end);

求解 LASSO 问题，记录输出。

opts.maxit = 3000;
opts.maxit_inn = 200;
opts.opts1.step_type = 'diminishing';
opts.verbose = 0;
opts.ftol = 1e-8;
[x, out] = LASSO_con(x0, A, b, mu, opts);
data1 = (out.fvec - f_star) / f_star;
k1 = length(data1);

将 $\mu$ 修改为 1e-2 重复实验。

mu = 1e-2;
opts.maxit = 5000;
opts.maxit_inn = 500;
opts.opts1.step_type = 'fixed';
opts.ftol = 1e-10;
[x, out] = LASSO_con(x0, A, b, mu, opts);
f_star = out.fvec(end);

opts.maxit = 3000;
opts.maxit_inn = 200;
opts.ftol = 1e-8;
opts.opts1.step_type = 'fixed';
[x, out] = LASSO_con(x0, A, b, mu, opts);
data2 = (out.fvec - f_star) / f_star;
k2 = length(data2);

结果可视化

可视化优化过程：观察目标函数值随迭代次数的变化。

fig = figure;
semilogy(1:k1, max(data1,0), '-', 'Color',[0.2 0.1 0.99], 'LineWidth',2);
hold on
semilogy(1:k2, max(data2,0), '-.','Color',[0.99 0.1 0.2], 'LineWidth',1.5);
legend('\mu = 10^{-3}', '\mu = 10^{-2}');
ylabel('$(f(x^k) - f^*)/f^*$', 'fontsize', 14, 'interpreter', 'latex');
xlabel('迭代步');
print(fig, '-depsc','subgrad.eps');

结果分析

于固定正则化系数 $\mu$ 和步长时不同，采取连续化策略之后，次梯度法在固定步长下收敛到了最小值。注意到在 $\mu$ 减小到 1e-2 之前，两次优化的过程是完全相同的（图像不重合而是平行是由于对应的最小值不同），并且在每次 $\mu$ 减小后，函数值都有迅速的下降。最终在 $1000$ 次迭代左右最终收敛，比之采取相同的连续化策略的光滑化梯度法稍慢。

参考页面

次梯度法的算法实现参考 LASSO 问题的次梯度法，连续化策略参考 LASSO 问题连续化策略。不使用连续化策略的次梯度法见实例：次梯度法解 LASSO 问题。

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