LASSO 问题的近似点梯度法求解

对于 LASSO 问题

$\displaystyle\min_x \frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2 + \mu \|x\|_1,$

利用近似点梯度法进行优化。

该算法被外层连续化策略调用，在连续化策略下完成某一固定正则化系数的内层迭代优化。

对于上述目标函数，近似点梯度法考虑令 $\phi(x)=\frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2$ , $h(x)=\mu\|x\|_1$ ，对光滑部分做梯度下降，并对非光滑部分使用近似点算子，得到迭代格式 $x^{k+1}=\mathrm{prox}_{t_kh(\cdot)}\left(x^k-t_k\nabla \phi(x^k)\right)$ 。

在此问题中，近似点算子可以解析地写出： $\mathrm{prox}_{t_kh(\cdot)}(x)=\mathrm{sign}(x)\max\{|x|-t_k\mu,0\}$ 。

初始化和迭代准备

函数在 LASSO 连续化策略下，完成内层迭代的优化。

输入信息： $A$ , $b$ , $\mu$ ，迭代初始值 $x^0$ ，原问题对应的正则化系数 $\mu_0$ ，以及提供各参数的结构体 opts 。

输出信息：迭代得到的解 $x$ 和结构体 out 。

out.fvec ：每一步迭代的原始 LASSO 问题目标函数值（对应于原问题的 $\mu_0$ ）
out.fval ：迭代终止时的原始 LASSO 问题目标函数值（对应于原问题的 $\mu_0$ ）
out.nrmG ：迭代终止时的梯度范数
out.tt ：运行时间
out.itr ：迭代次数
out.flag ：记录是否收敛

function [x, out] = LASSO_proximal_grad_inn(x0, A, b, mu, mu0, opts)

从输入的结构体 opts 中读取参数或采取默认参数。

opts.maxit ：最大迭代次数
opts.ftol ：针对函数值的收敛判断条件，当相邻两次迭代函数值之差小于该值时认为该条件满足
opts.gtol ：针对梯度的收敛判断条件，当当前步梯度范数小于该值时认为该条件满足
opts.alpha0 ：步长的初始值
optsz.verbose ：不为 0 时输出每步迭代信息，否则不输出
opts.ls ：标记是否线搜索
opts.bb ：标记是否采用 BB 步长

if ~isfield(opts, 'maxit'); opts.maxit = 10000; end
if ~isfield(opts, 'ftol'); opts.ftol = 1e-12; end
if ~isfield(opts, 'gtol'); opts.gtol = 1e-6; end
if ~isfield(opts, 'verbose'); opts.verbose = 1; end
if ~isfield(opts, 'alpha0'); opts.alpha0 = 1e-3; end
if ~isfield(opts, 'ls'); opts.ls = 1; end
if ~isfield(opts, 'bb'); opts.bb = 0; end

初始化， $t$ 为步长，初始步长由 opts.alpha0 提供。 $g=A^\top(Ax-b)$ 为可微部分的梯度， $f=\frac{1}{2}\|Ax-b\|^2+\mu\|x\|_1$ 为优化的目标函数, nrmG 在初始时刻用一步近似点梯度法（步长为 $1$ ）的位移作为梯度的估计，用于收敛性的判断。

out = struct();
k = 0;
tt = tic;
x = x0;
t = opts.alpha0;

fp = inf;
r = A*x0 - b;
g = A'*r;
tmp = .5*norm(r,2)^2;
tmpf = tmp + mu*norm(x,1);
f =  tmp + mu0*norm(x,1);
nrmG = norm(x - prox(x - g,mu),2);
out.fvec = f;

线搜索参数。

Cval = tmpf; Q = 1; gamma = 0.85; rhols = 1e-6;

迭代主循环

当达到最大迭代次数，或梯度或函数值的变化大于阈值时，退出迭代。

while k < opts.maxit && nrmG > opts.gtol && abs(f - fp) > opts.ftol

记录上一步的迭代信息。

    gp = g;
    fp = f;
    xp = x;

一步近似点梯度法。令 $\phi(x)=\frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2$ , $h(x)=\mu\|x\|_1$ ，近似点梯度法的迭代格式为 $x^{k+1}=\mathrm{prox}_{t_{k}h}(x^k-t_{k}A^\top(Ax^k-b))$ ，近邻算子 prox 的计算见辅助函数。

    x = prox(xp - t * g, t * mu);

事实上，近似点梯度法的迭代格式根据定义可以写作

$\begin{array}{ll} x^{k+1}&\hspace{-0.5em}=\displaystyle\arg\min_u \left( \|u\|_1+\frac{1}{2 t_k}\|u-x^k+ t_k\nabla \phi(x^k)\|_2^2 \right) \\ &\hspace{-0.5em}=\displaystyle\arg\min_u \left( \|u\|_1+\phi(x^k) +\nabla \phi(x^k)^\top (u-x^k)+\frac{1}{2 t_k}\|u-x^k\|^2_2 \right). \end{array}$

检验是否满足非精确线搜索条件。令 $f(x) = \phi(x) + h(x)$ ，针对 $f(x)$ 考虑线搜索准则，即为 $f(x^{k+1}(t))\le C_k - \frac{1}{2}\rho t \| x^{k+1}(t)-x^k\|^2$ ，其中 $x^{k+1}(t) = \mathrm{prox}_{t h}(x^k - t \nabla \phi(x^k))$ 。

nls 记录线搜索循环的迭代次数，直到满足条件或进行 5 次步长衰减后退出线搜索循环，得到更新的 $x^{k+1}$ 。 $C_k$ 为 (Zhang & Hager) 线搜索准则中的量。

如果不满足线搜索条件，对当前步长进行衰减，当前线搜索次数加一。

    if opts.ls
        nls = 0;
        while 1
            tmp = 0.5 * norm(A*x - b, 2)^2;
            tmpf = tmp + mu*norm(x,1);
            if tmpf <= Cval - rhols*0.5*t*norm(x-xp,2)^2 || nls == 5
                break;
            end

            t = 0.2*t; nls = nls + 1;
            x = prox(xp - t * g, t * mu);
        end

        f = tmp + mu0*norm(x,1);

当 opts.ls=0 时，不进行线搜索。

    else
        f = 0.5 * norm(A*x - b, 2)^2 + mu0*norm(x,1);
    end

用 $\frac{\|x^{k+1}-x^k\|_2}{t_k}$ 作为梯度范数的估计。

    nrmG = norm(x - xp,2)/t;
    r = A * x - b;
    g = A' * r;

如果 opts.bb=1 且 opts.ls=1 则计算 BB 步长作为下一步迭代的初始步长。令 $s^k=x^{k+1}-x^k$ , $y^k=g^{k+1}-g^k$ ，这里在偶数与奇数步分别对应 $\displaystyle\frac{(s^k)^\top s^k}{(s^k)^\top y^k}$ 和 $\displaystyle\frac{(s^k)^\top y^k}{(y^k)^\top y^k}$ 两个 BB 步长。

    if opts.bb && opts.ls
        dx = x - xp;
        dg = g - gp;
        dxg = abs(dx'*dg);

        if dxg > 0
            if mod(k,2) == 0
                t = norm(dx,2)^2/dxg;
            else
                t = dxg/norm(dg,2)^2;
            end
        end

将更新得到的 BB 步长限制在阈值 [t_0,10^{12}] 内。

        t = min(max(t,opts.alpha0),1e12);
        Qp = Q; Q = gamma*Qp + 1; Cval = (gamma*Qp*Cval + tmpf)/Q;

如果不使用 BB 步长，则使用设定的初始步长开始下一次迭代。

    else
        t = opts.alpha0;
    end

迭代步数加一，记录当前函数值，输出信息。

    k = k + 1;
    out.fvec = [out.fvec, f];
    if opts.verbose
        fprintf('itr: %d\tt: %e\tfval: %e\tnrmG: %e\n', k, t, f, nrmG);
    end

特别地，除了每次迭代开始处的收敛条件外，如果连续 8 步的函数值最小值比 8 步之前的函数值超过阈值，则停止内层循环。

    if k > 8 && min(out.fvec(k-7:k)) - out.fvec(k-8) > opts.ftol
        break;
    end
end

当退出循环时，向外层迭代（连续化策略）报告内层迭代的退出方式，当达到最大迭代次数退出时， out.flag 记为 1 ，否则则为达到收敛标准，记为 0. 这个指标用于判断是否进行正则化系数的衰减。

if k == opts.maxit
    out.flag = 1;
else
    out.flag = 0;
end

记录输出信息。

out.fvec = out.fvec(1:k);
out.fval = f;
out.itr = k;
out.tt = toc(tt);
out.nrmG = nrmG;

end

辅助函数

函数 $h(x)=\mu\|x\|_1$ 对应的邻近算子 $\mathrm{sign}(x)\max\{|x|-\mu,0\}$ 。

function y = prox(x, mu)
y = max(abs(x) - mu, 0);
y = sign(x) .* y;
end

参考页面

该函数由连续化策略调用，关于连续化策略参见 LASSO问题连续化策略。

在页面实例：近似点梯度法和 Nesterov 加速算法求解 LASSO 问题我们展示该算法的应用。另外，基于该算法的加速算法参考 LASSO问题的 FISTA 算法、 LASSO问题的第二类 Nesterov 加速算法。

此页面的源代码请见： LASSO_proximal_grad_inn.m。

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