2021 秋: 代数学 (实验班)

课程信息：

  • 任课老师: 肖梁
  • 课程时间: 单周一 12，周四 78
  • 教室: 理教419
  • 答疑时间: 周一下午1-2点，数学中心，78101--1
  • 电子邮箱: lxiao at bicmr.pku.edu.cn
  • 课程介绍: pdf版本.

    本课程是抽象代数的实验班，主要讨论群、环、模、域及半单代数等基本性质，具体内容如下：
    • 群：子群、商群、同态、群作用、西罗子群、群的直积和半直积、可阶群
    • 环：理想、同态、商环、分式域、欧几里得整环、主理想整环、唯一分解整环、多项式环、希尔伯特基定理
    • 模：模直和、自由模、张量积、整合列
    • 域：域扩张、分裂域、伽罗华理论、分圆域、五次方程分裂域、无穷伽罗华群
    • 半单代数：Schur引理、半单性、Burnside定理、中心半单代数
  • 教材:D. Dummit, R. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition. See also the errata.
    • 课本及参考资料:
    • 丁石孙、聂灵沼，代数学引论 (第二版).
    • 李文威，代数学方法 (第一卷).
    • T. Hungerford, Algebra, Graduate Textbook of Mathematics 73.

课程评分方案

  • 作业: 14%，共7次，每两周一次，习题课提交
  • 课内小测：4%，共两次，10月11日和12月9日
  • 小论文：7%，最后一次习题课提交
  • 期中考试: 30%，11月22日，周一
  • 期末考试: 45%，2022年1月13日，周四下午

小论文

  • 选择一个自己感兴趣的与代数学有关的话题写一篇5--10页的综述或者对一个具体问题的研究，内容不限. 注意写作规范及格式、用LaTeX排版. 选题举例：群表示简介、域上的中心单代数、伽罗华理论与三次和四次求根公式、典型李群介绍等等.

课内小测

  • 15分钟小测验，内容为一至两道标准题目.

作业

  • 作业在网页上发布，每两周在习题课提交. 作业题目中热身问题不需要提交，标准题目选择10道提交，较困难题目选择5道提交. (虽然并不是所有作业题都需要提交纸质解答，但希望学生们至少尝试每道作业题，考试题目中有30%以上为作业题的原题或简单变换.) 我们鼓励学生们讨论作业题，但必须独立书写题目解答. 解答中英文皆可.

课程安排

Tentative schedule
Lecture Date Content
1 9/13 Groups, subgroups, and isomorphisms, §1--2.
2 9/16 Cosets and quotient groups, §3.1--3.2.
3 9/23 Isomorphism theorems, composition series, and Holder theorem, §3.3--3.4.
4 9/27 Direct and semidirect products and abelian groups, §5.
5 9/30 Group actions and class equation, §4.1--4.4.
Happy National's Day and Mid-Autumn Festival!
6 10/11 (Quiz 1) Sylow's theorems, §4.5.
7 10/14 Further topics on group theory, §4.6 and §6.
8 10/21 Rings, ideals, and quotient rings, §7.
9 10/25 Chinese remainder theorem, Euclidean domains, and PIDs, §8.1, 8.2.
10 10/28 Unique factorization domains, §8.3, 9.1, 9.2
11 11/4 Properties of polynomial rings, §9.3--9.5.
12 11/8 Basic module theory, quotients, homomorphism, and direct sums, §10.1--10.3.
13 11/11 Finitely generated modules over PID (notes are from the previous lectures), §12.1.
14 11/18 Tensor product of modules, §10.4.
11/22 Midterm Exam.
15 11/25 Field extensions, § [丁聂, § 7.1-7.2].
16 12/2 Normal extensions, [丁聂, § 7.3, 7.7].
17 12/6 Separable extensions and Finite fields [丁聂, § 7.4, 7.5].
18 12/9 Galois theory I, [丁聂, § 7.6, 8.1].
19 12/16 Galois theory II, [丁聂, § 8.1].
20 12/20 (Quiz 2) Galois group of polynomial, Insolvability of the Quintic, §14.6--14.8.
21 12/23 Infinite Galois group,
Bonus 1 Semisimple algebras, [Lang, § 17], videos at bilibili
1/13 Final Exam