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科学计算,稀有事件及其鞍点问题的算法和应用

稀有事件及相关鞍点问题在物理、化学、生物等很多领域都有着重要的应用,例如材料中的成核问题,化学反应的随机动力学,蛋白质的折叠构象等[1][1][4]。因为鞍点是代表过渡态的不稳定点,从数学上来讲比求解一般的稳定点更加困难,特别是对高维问题,其能量曲面非常复杂,这些对鞍点的计算方法提出了更高的要求。为此我们发展了一系列高效而稳定的数值方法,例如约束弦方法[2]、优化二聚体方法[3][5]等,算法具有很好的稳定性和适应性,可以有效解决各类鞍点问题。

在偏微分方程数值解中,对于高阶导数和刚性反应经常要求数值方法的时间步长引入严格的时间稳定性约束。隐式积分法通过解耦扩散和反应,为算法提供了优良的稳定性和高效率。 为了求解高维系统,我们利用阵列表示来有效处理从一般线性微分算子得到的指数矩阵,些矩阵只取决于导数的阶数和离散点的数量,而与空间维度的大小无关。这种基于阵列表示的方法可以模拟涉及高维数据的复杂系统等广泛应用[6]。

[1] Lei Zhang, Long-qing Chen, Qiang Du, Mathematical and Numerical Aspects of Phase-field Approach to Critical Morphology in Solids, Journal of Scientific Computing, 37, 89-102, 2008.
[2] Qiang Du, Lei Zhang, A constrained string method and its numerical analysis, Commun. Math. Sci., 7, 1039-1051, 2009.
[3] Lei Zhang, Jingyan Zhang, Qiang Du, Finding Critical Nuclei in Phase Transformations by Shrinking Dimer Dynamics and its Variants, Commun. Comput. Phys., 16, pp. 781-798, 2014.
[4] Lei Zhang, Weiqing Ren, Amit Samanta, Qiang Du,Recent Developments in Computational Modeling of Nucleation in Phase Transformations, npj Computational Materials (2016) 2, 16003.
[5] Lei Zhang, Qiang Du, Zhenzhen Zheng, Optimization-based Shrinking Dimer Method for Finding Transition States, SIAM Journal on Scientific Computing 38:1, A528-A544, 2016.
[6] Dongyong Wang, Lei Zhang, Qing Nie, Array-representation Integration Factor Method for High-dimensional Systems, J. Comput. Phys., 258, 585-600, 2014.


数学与生命科学的交叉,计算系统生物学

近年来随着生物海量数据的产生和计算机能力的显著提高,对复杂生物系统进行建模和计算模拟已成为生命科学领域作为继实验和理论方法外的又一重要科学研究手段。数学与生命科学的交叉研究可以探求生命机制的内在特征、定量规律及普适原理,正广泛应用于生命科学的各个领域。我们主要利用计算系统生物学手段,紧密结合生物实验,构建基因-细胞-组织的多层次模型,开展理论分析和科学计算,解决生命科学中一些重要的共性问题[1-5]。

近年来我们主要针对发育细胞、干细胞等为主要的研究领域,开展了一系列工作:
1. 提出了以噪声诱导的斑马鱼后脑的边界锐化机制,为研究分子噪声对细胞命运和基因不确定性提供了重要的理论依据和方法[1]。
2. 针对肠道隐窝的形成和再生,发展了基于反应扩散机制的数学框架[2]。
3. 我们与香港科技大学阎言课题组合作建立相场模型,利用稀有事件的机制揭示了果蝇胚胎成神经细胞分层过程中顶端肌球蛋白的重要作用[3]。
4. 我们与刘峰课题组构建力-化耦合的细胞极化模型,通过单细胞实验和理论模型阐明细胞膜表面张力对细胞极化有抑制作用,较高的表面张力能维持极化的稳定性[4]。
5. 干细胞是器官的来源,但器官能否反馈调控干细胞?分化细胞对干细胞的反馈有助于动态维持干细胞的稳态,使干细胞的数量和活性适应内源变化。在动物中,分化细胞通过分泌可扩散的信号分子反馈于干细胞。植物中是否存在反馈调控,在分子水平如何实现反馈调控?我们通过学科交叉研究发现了生长素长距离运输在侧生器官对茎尖干细胞的反馈中扮演了重要角色。研究发现,茎尖干细胞区域的生长素含量负调控干细胞平衡,高生长素含量导致干细胞分化加速。计算模拟表明,侧生器官原基外运的生长素能够抑制茎尖的生长素外运,从而维持茎尖生长素浓度的稳态,进而维持干细胞的稳态。遗传分析和显微手术实验验证了模型结论,发现在叶片、花原基发育不良的突变体中或在切除原基后,茎尖干细胞区域生长素外运加强,生长素浓度降低,茎尖干细胞增多。增大的干细胞团进而产生更多侧生器官。该模型解释了侧生器官突变体中茎尖干细胞区域增大,特别是周期性变化的表型。本研究揭示了植物干细胞稳态的维持与动物干细胞的稳态维持在分子水平采取了不同的策略。

[1] Lei Zhang#, Kelly Radtke#, Likun Zheng, Anna Cai, Tom Schilling, Qing Nie, Noise Drives Sharpening of Gene Expression Boundaries in the Zebrafish Hindbrain, Molecular Systems Biology 8:613, 2012.
[2] Lei Zhang, Arthur Lander, Qing Nie, A Reaction-Diffusion Mechanism Influences Cell Lineage Progression as a Basis for Formation, Regeneration, and Stability of Intestinal Crypts, BMC Systems Biology 6:93, 2012.
[3] Yanru An, Guosheng Xue, Xiaowei Zhou, Weichuan Yu, Toyotaka Ishibashi, Lei Zhang*, Yan Yan*, Apical constriction is driven by a pulsatile apical myosin network in delaminating Drosophila neuroblasts, Development (2017): dev-150763.
[4] Weikang Wang#, Kuan Tao#, Jin Wang, Gen Yang, Qi Ouyang, Yugang Wang, Lei Zhang*, Feng Liu*, Exploring the inhibition effect of membrane tension on cell polarization, PLoS Comput Biol 13(1): e1005354. doi:10.1371/ journal.pcbi.1005354, 2017.
[5] Bihai Shi#, Xiaolu Guo#, Ying Wang, Ken-ichiro Hayashi, Jinzhi Lei, Lei Zhang*, Yuling Jiao*, Feedback from Lateral Organs Controls Shoot Apical Meristem Growth by Modulating Auxin Transport, Developmental Cell, 44, 204-216, 2018.


计算材料科学

设计材料的性能最有效的方法是控制其相变和结构演变,它始于初期阶段纳米核的核变产生新的粒子,然后经历粒子增长,撞击或分裂的过程。在很多时候,核过程最终决定了材料的微观结构。由于各项异性的表面能和非局部弹性能的存在,人们普遍认为固体成核的建模和预测是迄今为止最困难的物理过程之一。我们主要研究相变中的各类成核问题,利用稳定的数值算法寻找不稳定的临界核和转变路径 [1-7],其中包括固态相变、液晶、超导材料等。

我们对固态成核问题建立了相场模型,结合稀有事件的数值算法准确地找到了固态中的临界核 [1],系统研究了固态成核及其动力学[2-7],解决了固态相变中长期存在的一个核心问题。

[1] Lei Zhang, Long-qing Chen, Qiang Du, Morphology of critical nuclei in solid state phase transformations, Physical Review Letters, 98, No.25, 265703, 2007.
[2] Lei Zhang, Long-qing Chen, Qiang Du, Diffuse-Interface Description of Strain-Dominated Morphology of Critical Nuclei in Phase Transformations, Acta Materialia, 56, 3568-3576, 2008
[3] Lei Zhang, Long-qing Chen, Qiang Du, Diffuse-Interface Approach to Predicting Morphologies of Critical Nucleus and Equilibrium Structure for Cubic to Tetragonal Transformations, J. Comput. Phys., 229, 6574-6584, 2010.
[4] Tae Wook Heo, Lei Zhang, Qiang Du, and Long-Qing Chen, Incorporating Non-classical Nuclei in Phase-field Simulations, Scripta Materialia, 63, 8-11, 2010
[5] Lei Zhang, Long-qing Chen, Qiang Du, Simultaneous Prediction of Morphologies of a Critical Nucleus and an Equilibrium Precipitate in Solids, Commun. Comput. Phys., 7, 674-682, 2010.
[6] Yulan Li, Shenyang Hu, Lei Zhang, Xin Sun, Non-classical nuclei and growth kinetics of Cr precipitates in FeCr alloys during aging, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 22, 025002, 2014.
[7] Boyan Li, Lei Zhang*, Chengliang Li, Shenyang Hu, Qiulin Li, Jun Chen, Guogang Shu, Yuqing Weng, Ben Xu*, Wei Liu*, Finding Non-Classical Critical Nuclei and Minimum Energy Path of Cu Precipitates in Fe-Cu Alloys, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 25 085006, 2017.

# equal-contribution, * Co-corresponding authors.